Persamaan Laplace pada Koordinat Kartesian

 

Persamaan Laplace pada Koordinat Kartesian

By: Aknaf Bachrudin

            Pada kehidupan sehari-hari, kita tidak pernah terlepas dari yang namanya panas. Panas selalu dibutuhkan oleh manusia untuk memenuhi kebutuhan sehari-harinya. Bahkan tubuh manusia pun mengeluarkan panas. Panas merupakan besaran energi. Panas memiliki sifat yang dapat mengalir. Pada koordinat kartesian, aliran panas dapat dijelaskan menggunakan Persamaan Laplace jika tidak ada sumber panas. Adapun persamaan Laplace adalah

Persamaan tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan beberapa gejala fisis seperti potensial gravitasi pada daerah bebas massa, potensial elektrostatis pada daerah bebas muatan, temperatur benda pada keadaan tunak, dan potensial kecepatan untuk fluida yang kompresibel

Jika dilihat pada gambar disamping, adalah sebuah logam tipis (unsur z diabaikan) dalam keadaan steady. Lantas bagaimana menentukan distribusi aliran panasnya?

Karena pada gambar tersebut tidak terdapat sumber panas maka berlaku persamaan Laplace.

Karena kepingan logam hanya terdapat pada dua dimensi yaitu pada sumbu x dan y serta variabel U dapat diganti T maka dengan subtitusi operator del persamaan laplace akan menjadi

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dapat digunakan metode separasi variable dengan fungsi

Jika dimasukan pada persamaan diatas maka akan menjadi

Dengan membagi persamaan tersebut dengan  maka akan didapat

 adalah konstanta separasi yang selalu ada ketika persamaan dilakukan separasi variabel. Dari persamaan diatas akan didapatkan dua persamaan yaitu

(i)        

(ii)      

Solusi dari persamaan (i) adalah

Sedangkan solusi dari persamaan (ii) adalah

Sehingga solusi

 

Pada persoalan gamabr diatas, dengan batas-batas yang ditentukan, yaitu ketika , maka . Jika  disubtitusikan pada solusi Y

(i)          (tidak cocok)

(ii)        (cocok)

Pada batas yang lain yaitu , maka . Jika 0 disubtitusikan ke solusi X

(iii)       (cocok)

(iv)        (tidak cocok)

Sehingga dari kedua batas tersebut didapatkan solusi pada permasalahan ini adalah

Pada batas lain yaitu ketika ,  sehingga

Nilai sinus yang sama dengan 0 adalah  dengan nilai

Dengan mendapatkan nilai k maka persamaan dapat ditulis kembali

Persamaan tersebut tidak memenuhi batas . Sehingga perlu solusi lain yaitu kombinasi linier dengan menambah konstanta

Untuk menentukan nilai  dapat digunakan deret fourier sinus

 

dengan

 

Nilai dari adalah 0 jika  bilangan genap dan akan bernilai  ketika  bilangan ganjil. Pada  bilangan ganjil maka

Sehingga

Nilai  yang memenuhi adalah ketika  bilangan ganjil. Sehingga persamaan solusi dapat ditulis

Dengan  adalah bilangan ganjil